Théorème de Fubini-Lebesgue
Extension du théorème de Fubini-Tonelli pour le cas où la fonction n'est pas positive.
- hypothèses :
- \(\mu_1,\mu_2\) sont \(\sigma\)-finies
- \(f\) \(:E_1\times E_2\to\overline{\Bbb R}\) est mesurable et intégrable pour la mesure produit
- résultats
- \(x\mapsto\int\lvert f\rvert(x,y)\,d\mu_2(y)\overset{pp}\lt +\infty\) et \(y\mapsto\int\lvert f\rvert(x,y)\,d\mu_1(x)\overset{pp}\lt +\infty\)
- $$\begin{align}\int f(x,y)\,d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)\,d\mu_2(y)\right)\,d\mu_1(x)\\ &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)\,d\mu_1(x)\right)\,d\mu_2(y)\end{align}$$
- pour avoir l'hypothèses d'intégrabilité pour la mesure produit, on peut utiliser Fubini-Tonelli sur \(\lvert f\rvert\)
- contre-exemple dans le cas où \(f\) n'est pas intégrable pour la mesure produit : on prend \(E_1=E_2={\Bbb N}\), \(\mu_1=\mu_2\) la mesure de comptage et $$f(x,y)=\begin{cases}1&\text{si}\quad x=y\\ -1&\text{si}\quad x=y+1\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$
Mesure produit,
Théorème de Fubini-Tonelli
